陕西住房和城乡建设部网站,住房城乡建设厅网站准考证,wordpress制作教程视频,网站图片模板源码文章目录 abstract向量的基本概念向量向量的坐标分解式和坐标#x1f47a;向量的模向量的长度(大小)#x1f47a;零向量单位向量#x1f47a;方向向量非零向量的单位向量正规化向量夹角#x1f47a; 向量方向角和向量间夹角投影几何描述向量的线性运算向量的加减运算向量的… 文章目录 abstract向量的基本概念向量向量的坐标分解式和坐标向量的模向量的长度(大小)零向量单位向量方向向量非零向量的单位向量正规化向量夹角 向量方向角和向量间夹角投影几何描述向量的线性运算向量的加减运算向量的三角形三边不等式 数乘方程的思想求解向量相关问题 向量的线性运算的坐标表示公式 abstract
向量代数向量基本概念和向量线性运算
向量的基本概念
平面向量和空间向量是类似的,这里主要以空间向量为主讨论
向量
既有大小(模)又有方向的量,称为向量(或矢量) 印刷体常用黑体字母表示向量手写通常用头箭头表示向量 向量的大小也被称为模只考虑方向和大小(而不考虑起点)的向量称为自由向量这里的向量是抽象向量的一个简化版本 n n n个数构成的数组,而在例如高等代数中讨论的,在线性空间中有含义更加广的向量以及更加深刻的性质研究
向量的坐标分解式和坐标
向量的坐标(表示): 向量的终点在坐标轴上的投影坐标 a x , a y , a z a_x,a_y,a_z ax,ay,az叫做向量 a \boldsymbol{a} a的坐标,记为 a ( a x , a y , a z ) \boldsymbol{a}(a_x,a_y,a_z) a(ax,ay,az)向量的坐标分解式 a x i a y j a z k a_{x}\boldsymbol{i}a_{y}\boldsymbol{j}a_{z}\boldsymbol{k} axiayjazk 更多详见向量坐标分解式相关章节
向量的模向量的长度(大小)
向量的模: a T ( a x , a y , a z ) \boldsymbol{a}^T(a_x,a_y,a_z) aT(ax,ay,az),则 ∣ a ∣ a x 2 a y 2 a z 2 |\boldsymbol{a}|\sqrt{a_x^2a_y^2a_z^2} ∣a∣ax2ay2az2 ( a x , a y , z y ) ⋅ ( a x , a y , a z ) \sqrt{(a_x,a_y,z_y)\cdot(a_x,a_y,a_z)} (ax,ay,zy)⋅(ax,ay,az) 在空间直角坐标系中,该公式是根据勾股定理得到 a ⋅ a a x 2 a y 2 a z 2 \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}a_x^2a_y^2a_z^2 a⋅aax2ay2az2,这里假设 a \boldsymbol{a} a是列向量如果引入矩阵乘法(向量内积)的表示方法,还可以写作 ∣ a ∣ a T a |\boldsymbol{a}|\sqrt{\boldsymbol{a}^T\boldsymbol{a}} ∣a∣aTa ,其中 a T , a \bold{a}^T,\bold{a} aT,a分别是行向量以及其转置得到的列向量
零向量
零向量:模为0的向量称为零向量,其方向可以看作任意的,记为 0 \bold{0} 0或 0 ⃗ \vec{0} 0 由于零向量与另一个向量的夹角的取值在 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]内任意取值,因此可以认为零向量和任意向量平行,也可以认为零向量和任意向量垂直
单位向量
单位向量:模为1的向量称为单位向量 通常向量 a \boldsymbol{a} a的同向单位向量记为 a 0 \boldsymbol{a}^{0} a0对于给定的一个方向 l \boldsymbol{l} l,记该方向的单位向量为 e l \boldsymbol{e}_{\boldsymbol{l}} el或 l 0 \boldsymbol{l}_0 l0或 l 0 \boldsymbol{l}^{0} l0,或 u \mathbf{u} u 每个方向都有单位向量,方向相同的向量的单位向量完全相同不同方向的单位向量长度都为1,但是方向不同向量的坐标和单位向量表示加法表示 取 i ( 1 , 0 , 0 ) \boldsymbol i(1,0,0) i(1,0,0), j ( 0 , 1 , 0 ) \boldsymbol j(0,1,0) j(0,1,0), k ( 0 , 0 , 1 ) \boldsymbol k(0,0,1) k(0,0,1),它们分别是 x , y , z x,y,z x,y,z轴的方向单位向量则 a ( a x , a y , a z ) a x i a y j a z k \boldsymbol{a}(a_x,a_y,a_z)a_x\boldsymbol{i}a_y\boldsymbol{j}a_z\boldsymbol{k} a(ax,ay,az)axiayjazk
方向向量
这个概念在讨论解析几何中的直线时,直线的点向式方程由直线的某个方向向量和直线上的一个点确定方向向量不一定是单位向量例如,直线 l l l过 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0(x0,y0),直线的某个方向向量为 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2),则方程可以表示为 x − x 0 1 \frac{x-x_0}{1} 1x−x0 y − y 0 1 \frac{y-y_0}{1} 1y−y0
非零向量的单位向量正规化 设非零向量 a ( a x , a y , a z ) a(a_x,a_y,a_z) a(ax,ay,az) a 0 a ∣ a ∣ a^{0}\frac{a}{|a|} a0∣a∣a 1 ∣ a ∣ ( a x , a y , a z ) \frac{1}{|a|}(a_x,a_y,a_z) ∣a∣1(ax,ay,az) 使用范数表示 ∣ ∣ a ∣ ∣ ||a|| ∣∣a∣∣表示向量 a a a的 L 2 L^2 L2范数 β 1 ∣ ∣ α ∣ ∣ α \beta\frac{1}{||\alpha||}\alpha β∣∣α∣∣1α的长度一定是1 ∣ ∣ β ∣ ∣ ||\beta|| ∣∣β∣∣ ∣ ∣ 1 ∣ ∣ α ∣ ∣ α ∣ ∣ \left|\left|\frac{1}{||\alpha||}\alpha\right|\right| ∣∣α∣∣1α 1 ∣ ∣ α ∣ ∣ ∣ ∣ α ∣ ∣ 1 \frac{1}{||\alpha||}||\alpha||1 ∣∣α∣∣1∣∣α∣∣1
向量夹角
向量夹角 设向量 a O A → , b O B → a\overrightarrow{OA},b\overrightarrow{OB} aOA ,bOB ,则他们的夹角记为 θ ∠ A O B a , b , 且 θ ∈ [ 0 , π ] \theta\angle{AOB}a,b,且\theta\in[0,\pi] θ∠AOBa,b,且θ∈[0,π] 若 θ 0 \theta0 θ0,则 a , b a,b a,b同向若 θ π \theta\pi θπ,则 a , b a,b a,b反向两者统称为 a , b a,b a,b平行,记为 a ∥ b a\parallel{b} a∥b若 a λ b a\lambda{b} aλb,则 a , b a,b a,b平行 若 λ 0 \lambda0 λ0, a , b a,b a,b同向若 λ 0 \lambda0 λ0, a , b a,b a,b反向 若 θ π 2 \theta\frac{\pi}{2} θ2π,则 a ⊥ b a\perp{b} a⊥b
向量方向角和向量间夹角投影
另见向量的方向角和方向余弦向量间夹角余弦投影和向量分量
几何描述向量的线性运算
平面二维向量和空间三维向量的运算类似
向量的加减运算 借助平行四边形或三角形法则,从几何的角度描述向量的加法和减法 并且减法可以转换为加法 a − b a ( − b ) \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\boldsymbol{a}(-\boldsymbol{b}) a−ba(−b) 向量加减运算的代数(坐标)运算比较简单,只需要将向量对应分量相加减: a ± b \boldsymbol{a}\pm\boldsymbol{b} a±b ( a x ± b x , a y ± b y , a z ± b z ) (a_{x}\pm{b_x},a_y\pm{b_y},a_{z}\pm{b_z}) (ax±bx,ay±by,az±bz) 向量加法满足交换律和结合律 c A B → \boldsymbol{c}\overrightarrow{AB} cAB $\overrightarrow{AO}\overrightarrow{OB} \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$并且 ∣ a − b ∣ ∣ b − a ∣ |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}||\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}| ∣a−b∣∣b−a∣
向量的三角形三边不等式 由三角形两边之和大于第三边,对应向量三角形法则下的向量加法和向量减法满足不等式: ∣ a b ∣ ⩽ ∣ a ∣ ∣ b ∣ |\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}|\leqslant{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|} ∣ab∣⩽∣a∣∣b∣ ∣ a − b ∣ |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| ∣a−b∣ ∣ b − a ∣ ⩽ ∣ a ∣ ∣ b ∣ |\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}| \leqslant{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|} ∣b−a∣⩽∣a∣∣b∣ 等号在 a , b \bold{a,b} a,b同向或反向时成立
数乘 设 λ \lambda λ是一个数, λ α \lambda{\boldsymbol{\alpha}} λα是一个向量, ∣ λ α ∣ ∣ λ ∣ ∣ α ∣ |\lambda{\boldsymbol\alpha}||\lambda||\boldsymbol\alpha| ∣λα∣∣λ∣∣α∣ 当 λ 0 \lambda0 λ0, λ α \lambda\boldsymbol{\alpha} λα与 α \boldsymbol{\alpha} α同向当 λ 0 \lambda0 λ0, λ α 0 \lambda\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{0} λα0当 λ 0 \lambda0 λ0, λ α \lambda\boldsymbol{\alpha} λα和 α \boldsymbol{\alpha} α反向 代数表示:设 α ( a x , a y , a z ) \boldsymbol{\alpha}(a_{x},a_y,a_z) α(ax,ay,az),则 λ α ( λ a x , λ a y , λ a z ) \lambda{\boldsymbol\alpha}(\lambda{a_x},\lambda{a_y},\lambda{a_z}) λα(λax,λay,λaz) ∣ λ α ∣ |\lambda\boldsymbol{\alpha}| ∣λα∣ ( λ a x ) 2 ( λ a y ) 2 ( λ a z ) 2 \sqrt{(\lambda a_{x})^2(\lambda a_{y})^2(\lambda a_{z})^2} (λax)2(λay)2(λaz)2 λ 2 ( a x 2 a y 2 a z 2 ) \sqrt{\lambda^2(a_x^2a_y^2a_z^2)} λ2(ax2ay2az2) ∣ λ ∣ ∣ α ∣ |\lambda||\boldsymbol{\alpha}| ∣λ∣∣α∣ 向量的数乘满足结合律和分配律
方程的思想求解向量相关问题 例如求空间中满足某个特征的点的坐标 使用建立方程并解方程的方法可以简化思维过程 设 A M → λ M B → \overrightarrow{AM}\lambda\overrightarrow{MB} AM λMB , A ( x 1 , y 1 , z 1 ) , B ( x 2 , y 2 , z 2 ) A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2) A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2) 其中: A M → \overrightarrow{AM} AM O M → − O A → \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA} OM −OA M B → \overrightarrow{MB} MB O B → − O M → \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM} OB −OM 所以 O M → − O A → λ ( O B → − O M → ) \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA} \lambda(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}) OM −OA λ(OB −OM ) ( 1 λ ) O M → (1\lambda)\overrightarrow{OM} (1λ)OM λ O B → O A → \lambda\overrightarrow{OB}\overrightarrow{OA} λOB OA O M → \overrightarrow{OM} OM 1 1 λ ( O A → λ O B → ) \frac{1}{1\lambda}(\overrightarrow{OA}\lambda\overrightarrow{OB}) 1λ1(OA λOB ) 1 1 λ ( x 1 λ x 2 , y 2 λ y 2 , z 1 λ z 2 ) \frac{1}{1\lambda}(x_1\lambda{x_2},y_2\lambda{y_2},z_1\lambda{z_2}) 1λ1(x1λx2,y2λy2,z1λz2)
向量的线性运算的坐标表示公式 利用坐标作向量的线性运算(加法,减法,数乘)是方便的 向量的坐标分解式对应了坐标在各个轴上的分量 利用相关交换律和结合律,可得 a b \boldsymbol{ab} ab ( a x b x ) i ( a y b y ) j ( a z b z ) k ( a x b x , a y b y , a z b z ) (a_xb_x)\boldsymbol{i}(a_yb_y)\boldsymbol{j}(a_zb_z)\boldsymbol{k}(a_xb_x,a_yb_y,a_zb_z) (axbx)i(ayby)j(azbz)k(axbx,ayby,azbz) a − b \boldsymbol{a-b} a−b ( a x − b x ) i ( a y − b y ) j ( a z − b z ) k ( a x − b x , a y − b y , a z − b z ) (a_x-b_x)\boldsymbol{i}(a_y-b_y)\boldsymbol{j}(a_z-b_z)\boldsymbol{k}(a_x-b_x,a_y-b_y,a_z-b_z) (ax−bx)i(ay−by)j(az−bz)k(ax−bx,ay−by,az−bz) λ a \lambda\boldsymbol{a} λa λ ( a x , a y , a z ) \lambda(a_x,a_y,a_z) λ(ax,ay,az)
