哪家网站游戏做的比较好的,树莓派用wordpress,网站后台管理图片水印怎么做,计算机专业论文网站开发文章目录 1. 单位矩阵的秩1变换1.1 功能说明1.2 证明 2. 单位矩阵 I n I_n In的秩k变换3. 一般矩阵A的秩k变换4. 公式用途4.1 求解方程4.2 卡曼滤波 1. 单位矩阵的秩1变换
1.1 功能说明
假设我们有一个单位矩阵I#xff0c;列向量u,v那么当我们对单位向量I减去秩为1的矩阵… 文章目录 1. 单位矩阵的秩1变换1.1 功能说明1.2 证明 2. 单位矩阵 I n I_n In的秩k变换3. 一般矩阵A的秩k变换4. 公式用途4.1 求解方程4.2 卡曼滤波 1. 单位矩阵的秩1变换
1.1 功能说明
假设我们有一个单位矩阵I列向量u,v那么当我们对单位向量I减去秩为1的矩阵后其逆等于多少 M I − u v T , M − 1 I u v T 1 − v T u \begin{equation} MI-uv^T,M^{-1}I\frac{uv^T}{1-v^Tu} \end{equation} MI−uvT,M−1I1−vTuuvT
我们发现对于单位矩阵进行秩为1的扰动 u v T uv^T uvT,其逆也是进行秩为1的扰动 u v T 1 − v T u \frac{uv^T}{1-v^Tu} 1−vTuuvT,这个公式的好处在于当我们知道对I的秩为1的扰动就能通过公式直接知道其逆的扰动真神奇
1.2 证明 M I − u v T ⇒ M − 1 I u v T 1 − v T u \begin{equation} MI-uv^T\Rightarrow M^{-1}I\frac{uv^T}{1-v^Tu}\end{equation} MI−uvT⇒M−1I1−vTuuvT
定义矩阵E表示如下 E [ I u v T 1 ] , D e t [ E ] 1 − v T u (3) E\begin{bmatrix}Iu\\\\v^T1\end{bmatrix},Det[E]1-v^Tu\tag{3} E IvTu1 ,Det[E]1−vTu(3) 我们想求 E − 1 E^{-1} E−1可以通过增广矩阵进行行变换得到第一种方法是将第一行乘以 v T v^T vT后加到第二行中. [ I 0 − v T 1 ] E [ I u 0 D ] (4) \begin{bmatrix}I0\\\\-v^T1\end{bmatrix}E\begin{bmatrix}Iu\\\\0D\end{bmatrix}\tag{4} I−vT01 E I0uD (4) E − 1 [ I u 0 D ] − 1 [ I 0 − v T 1 ] [ I u D − 1 v T − u D − 1 − D − 1 v T D − 1 ] (5) E^{-1}\begin{bmatrix}Iu\\\\0D\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}I0\\\\-v^T1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}IuD^{-1}v^T-uD^{-1}\\\\-D^{-1}v^TD^{-1}\end{bmatrix}\tag{5} E−1 I0uD −1 I−vT01 IuD−1vT−D−1vT−uD−1D−1 (5)第二种方法是将第二行乘以 u u u后加到第一行中. [ I − u 0 1 ] E [ I − u v T 0 v T 1 ] (6) \begin{bmatrix}I-u\\\\01\end{bmatrix}E\begin{bmatrix}I-uv^T0\\\\v^T1\end{bmatrix}\tag{6} I0−u1 E I−uvTvT01 (6) E − 1 [ I − u v T 0 v T 1 ] − 1 [ I − u 0 1 ] [ M − 1 − M − 1 u − v T M − 1 1 v T M − 1 u ] (7) E^{-1}\begin{bmatrix}I-uv^T0\\\\v^T1\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}I-u\\\\01\end{bmatrix}\begin{bmatrix}M^{-1}-M^{-1}u\\\\-v^TM^{-1}1v^TM^{-1}u\end{bmatrix}\tag{7} E−1 I−uvTvT01 −1 I0−u1 M−1−vTM−1−M−1u1vTM−1u (7)由公式4,6 可得两个 E − 1 E^{-1} E−1相等, M I − u v T MI-uv^T MI−uvT [ I u D − 1 v T − u D − 1 − D − 1 v T D − 1 ] [ M − 1 − M − 1 u − v T M − 1 1 v T M − 1 u ] (8) \begin{bmatrix}IuD^{-1}v^T-uD^{-1}\\\\-D^{-1}v^TD^{-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}M^{-1}-M^{-1}u\\\\-v^TM^{-1}1v^TM^{-1}u\end{bmatrix}\tag{8} IuD−1vT−D−1vT−uD−1D−1 M−1−vTM−1−M−1u1vTM−1u (8)由第一个行第一列可得如下 M − 1 I u D − 1 v T I u v T 1 − v T u (9) M^{-1}IuD^{-1}v^TI\frac{uv^T}{1-v^Tu}\tag{9} M−1IuD−1vTI1−vTuuvT(9)结论 M I − u v T ⇒ M − 1 I u v T 1 − v T u (10) MI-uv^T\Rightarrow M^{-1}I\frac{uv^T}{1-v^Tu}\tag{10} MI−uvT⇒M−1I1−vTuuvT(10)
2. 单位矩阵 I n I_n In的秩k变换
定义 M 表示如下 M I − U V T → M − 1 I n U ( I k − V T U ) − 1 V T \begin{equation} MI-UV^T\rightarrow M^{-1}I_nU(I_k-V^TU)^{-1}V^T \end{equation} MI−UVT→M−1InU(Ik−VTU)−1VT同理构造矩阵E E [ I n U V T I k ] , d e t ( E ) d e t ( I n − U V T ) \begin{equation} E\begin{bmatrix}I_nU\\\\V^TI_k\end{bmatrix},det(E)det(I_n-UV^T) \end{equation} E InVTUIk ,det(E)det(In−UVT)
3. 一般矩阵A的秩k变换
Sherman-Morrison-Woodbury formula定义 M 表示如下 M A − U V T \begin{equation} MA-UV^T \end{equation} MA−UVT - M − 1 A − 1 A − 1 U ( I − V T A − 1 U ) − 1 V T A − 1 \begin{equation} M^{-1}A^{-1}A^{-1}U(I-V^TA^{-1}U)^{-1}V^TA^{-1} \end{equation} M−1A−1A−1U(I−VTA−1U)−1VTA−1同理构造矩阵E E [ A U V T I ] , d e t ( E ) d e t ( A − U V T ) \begin{equation} E\begin{bmatrix}AU\\\\V^TI\end{bmatrix},det(E)det(A-UV^T) \end{equation} E AVTUI ,det(E)det(A−UVT)
4. 公式用途
4.1 求解方程 ( I k − U V T ) x b → x [ I n U ( I k − V T U ) − 1 V T ] b \begin{equation} (I_k-UV^T)xb\rightarrow x[I_nU(I_k-V^TU)^{-1}V^T] b \end{equation} (Ik−UVT)xb→x[InU(Ik−VTU)−1VT]b
4.2 卡曼滤波
当我们有一个已知的方程解 A x b Axb Axb最小二乘的结果如下 A T A x ^ A T b \begin{equation} A^TA\hat{x}A^Tb \end{equation} ATAx^ATb
突然我们需要新增一行数据 v T v^T vT,那么矩阵变成如下 [ A T v ] [ A v T ] x ^ [ A T v ] [ b b m 1 ] \begin{equation} \begin{bmatrix}A^Tv\end{bmatrix} \begin{bmatrix}A\\\\v^T\end{bmatrix}\hat{x}\begin{bmatrix}A^Tv\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b\\\\b_{m1}\end{bmatrix} \end{equation} [ATv] AvT x^[ATv] bbm1 整理可得如下 [ A T A v v T ] x ^ A T b v b m 1 \begin{equation} [A^TAvv^T]\hat{x}A^Tbvb_{m1} \end{equation} [ATAvvT]x^ATbvbm1我们发现原来的矩阵为 A T A A^TA ATA后来加了一个秩1的矩阵 v v T vv^T vvT,那么在假设原来 A T A A^TA ATA可逆的情况下可以直接通过公式求得 M A T A − v v T \begin{equation} MA^TA-vv^T \end{equation} MATA−vvT M − 1 ( A T A ) − 1 ( A T A ) − 1 v ( I v T ( A T A ) − 1 v ) − 1 v T ( A T A ) − 1 \begin{equation} M^{-1}(A^TA)^{-1}(A^TA)^{-1}v(Iv^T(A^TA)^{-1}v)^{-1}v^T(A^TA)^{-1} \end{equation} M−1(ATA)−1(ATA)−1v(IvT(ATA)−1v)−1vT(ATA)−1 这样就可以在原来的结果基础上直接得到新解。
